Giáo Dục

Tổng hợp kiến thức Toán 9

Tổng hợp kiến thức Toán 9 bao gồm toàn bộ kiến thức trọng tâm trong chương trình môn học lớp 9 cả năm.

Tổng hợp kiến thức Toán 9 là tài liệu vô cùng hữu ích, giúp các bạn học sinh lớp 9 có thêm nhiều tư liệu tham khảo, củng cố kiến thức hình học và đại số. Qua đó nắm được kiến thức để nhanh chóng biết cách giải các bài tập để đạt được kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi vào lớp 10 sắp tới. Vậy sau đây là nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo và tải tại đây.

Tổng hợp kiến thức và dạng bài tập toán 9

1. Điều kiện để căn thức có nghĩa

sqrt{A} có nghĩa khi A geq 0

2. Các công thức biến đổi căn thức.

a. quad sqrt{A^{2}}=|A|

b. quad sqrt{A B}=sqrt{A} cdot sqrt{B} quad(A geq 0 ; B geq 0)

c. quad sqrt{frac{A}{B}}=frac{sqrt{A}}{sqrt{B}} quad(A geq 0 ; B>0)

d. quad sqrt{A^{2} B}=|A| sqrt{B} quad(B geq 0)

begin{array}{lll}text { e. } & A sqrt{B}=sqrt{A^{2} B} & (A geq 0 ; B geq 0)end{array}

ê. quad A sqrt{B}=-sqrt{A^{2} B} quad(A<0 ; B geq 0)

f. quad sqrt{frac{A}{B}}=frac{1}{|B|} sqrt{A B} quad(A B geq 0 ; B neq 0)

g. quad frac{A}{sqrt{B}}=frac{A sqrt{B}}{B} quad(B>0)

h. frac{C}{sqrt{A} pm B}=frac{C(sqrt{A} mp B)}{A-B^{2}} quadleft(A geq 0 ; A neq B^{2}right)

i. frac{C}{sqrt{A} pm sqrt{B}}=frac{C(sqrt{A} mp sqrt{B})}{A-B^{2}} quad(A geq 0 ; B geq 0 ; A neq B)

3. Hàm số  y=a x+b(a neq 0)

+ Hàm số đồng biến trên R khi a > 0.

+ Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0.

– Đồ thị:

Đồ thị là một đường thẳng đi qua điểm A(0;b); B(-b/a;0).

4. Hàm số y=operatorname{ax}^{2}(a neq 0)

– Tính chất

+ Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.

+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.

– Đồ thị:

Đồ thị là một đường cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0).

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành.

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

y=a x+b(d)y=a^{prime} x+b^{prime}left(d^{prime}right)

(d) và (d’) cắt nhau ⇔ a ≠ a’

(d) // (d’) ⇔ a = a’ và b ≠ b’

(d) ≡ (d’) ⇔ a = a’ và b = b’

6. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường cong.

Xét đường thẳng y=a x+b(d)y=a x^{2}(P)

(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm

(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm

(d) và (P) không có điểm chung

7. Phương trình bậc hai.

Xét phương trình bậc hai a x^{2}+b x+c=0(a neq 0)

Công thức nghiệm

Delta=b^{2}-4 a c

– NếuDelta>0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x_{1}=frac{-b+sqrt{Delta}}{2 a} ; x_{2}=frac{-b-sqrt{Delta}}{2 a}

– Nếu Delta=0: Phương trình có nghiệm kép :

x_{1}=x_{2}=frac{-b}{2 a}

– Nếu Delta<0: phương trình vô nghiệm

Công thức nghiệm thu gọn

Delta^{prime}=b^{prime 2}-a c text { vói } b=2 b^{prime}

– Nếu Delta^{prime}>0: Phương trình có 2 nghiệm

x_{1}=frac{-b^{prime}+sqrt{Delta}}{a} ; x_{2}=frac{-b^{prime}-sqrt{Delta}}{a}

– Nếu Delta^{prime}=0 phương trình có nghiệm kép

x_{1}=x_{2}=frac{-b^{prime}}{a}

– Nếu Delta^{prime}<0: Phương trình vô nghiệm

8. Hệ thức Viet và ứng dụng.

– Hệ thức Viet:

Nếu mathrm{x}_{1}, mathrm{x}_{2} là nghiệm của phương trình bậc hai mathrm{ax}^{2}+mathrm{bx}+mathrm{c}=0(mathrm{a} neq 0) thì

left{begin{array}{l} S=x_{1}+x_{2}=frac{-b}{a} \ P=x_{1} x_{2}=frac{c}{a} end{array}right.

– Một số ứng dụng:

+ Tìm hai số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải phương trình: x^{2}-S x+P=0

(Điều kiện S2– 4P ≥ 0)

+ Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai a^{2}+b x+c=0$ (aneq0)

Nếu a +b+c=0 thì phương trình có hai nghiệm mathrm{x}_{1}=1 ; mathrm{x}_{2}=frac{c}{a}

Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm:  mathrm{x}_{1}=-1 ; mathrm{x}_{2}=-frac{c}{a}

9. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình

Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình

Bước 3: Kiểm tra các nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Bài toán: Rút gọn biểu thức A

Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các bước sau:

– Quy đồng mẫu thức (nếu có)

– Đưa bớt thừa số ra ngoài căn thức (nếu có)

– Trục căn thức ở mẫu (nếu có)

– Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia….

Cộng trừ các số hạng đồng dạng.

Dạng 2: Bài toán tính toán

Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A.

– Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rút gọn biểu thức A

Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức A(x) biết x = a

Cách giải:

– Rút gọn biểu thức A(x).

Thay x = a vào biểu thức rút gọn.

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức

Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B

Một số phương pháp chứng minh:

– Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa.

A = B ⇔ A – B = 0

– Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp.

A = A1 = A2 = … = B

– Phương pháp 3: Phương pháp so sánh.

– Phương pháp 4: Phương pháp tương đương.

A = B ⇔ A’ = B’ ⇔ A” = B” ⇔ …… ⇔ (*) (*) đúng do đó A = B

– Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng giả thiết.

– Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp.

Phương pháp 7: Phương pháp dùng biểu thức phụ.

Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức

Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B

Một số bất đẳng thức quan trọng:

Bất đẳng thức Cosi:

frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+ldots+a_{n}}{n} geq sqrt[n]{a_{1} cdot a_{2} cdot a_{3} ldots a_{n}} text { (vói } left.a_{1} cdot a_{2} cdot a_{3} ldots a_{n} geq 0right)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

a_{1}=a_{2}=a_{3}=ldots=a_{n}

Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: a _{1} ; mathrm{a}_{2} ; mathrm{a}_{3} ; ldots ; mathrm{an} ; mathrm{b}_{1} ; mathrm{b}_{2} ; mathrm{b}_{3} ; ldots bn

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

frac{a_{1}}{b_{1}}=frac{a_{2}}{b_{2}}=frac{a_{3}}{b_{3}}=ldots=frac{a_{n}}{b_{n}}

Dạng 5: Bài toán liên quan đến phương trình bậc 2

Bài toán 1: giải các phương trình bậc 2: ax+ bx + 2

– Các phương pháp giải:

– Phương pháp 1 : Phân tích đưa về phương trình tích.

– Phương pháp 2: Dùng kiến thức về căn bậc hai

mathrm{x}^{2}=mathrm{a} rightarrow mathrm{x}=pm sqrt{a}

– Phương pháp 3: Dùng công thức nghiệm Ta có Delta=b^{2}-4 a c

+ Nếu Delta>0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x_{1}=frac{-b+sqrt{Delta}}{2 a} ; x_{2}=frac{-b-sqrt{Delta}}{2 a}

+ Nếu Delta=0 : Phương trình có nghiệm kép

x_{1}=x_{2}=frac{-b}{2 a}

+ Nếu Delta<0 : Phương trình vô nghiệm

– Phương pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn Ta có Delta^{prime}=mathbf{b}^{prime 2}- ac với mathbf{b}=2 mathbf{b}^{prime}

+ Nếu Delta^{prime}>0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x_{1}=frac{-b^{prime}+sqrt{Delta^{prime}}}{a} ; x_{2}=frac{-b^{prime}-sqrt{Delta}}{a}

+ Nếu Delta^{prime}=0: Phương trình có nghiệm kép

x_{1}=x_{2}=frac{-b^{prime}}{a}

+ Nếu Delta^{prime}<0 : Phương trình vô nghiệm

– Phương pháp 5: Nhầm nghiệm nhờ định lí Vi-et. Nếu mathrm{x}_{1}, mathrm{x}_{2} là nghiệm của phương trình bậc hai mathrm{ax}^{2}+mathrm{bx}+mathrm{c}=0(mathrm{a} neq 0) thì:

left{begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=frac{-b}{a} \ x_{1} cdot x_{2}=frac{c}{a} end{array}right.

Chú ý: Nếu a, c trái dấu túc là a.c <0 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Bài toán 2:

– Xét hệ số a: Có thể có 2 khả năng

a. Trường hợp mathrm{a}=0 với vài giá trị nào đó của m. Giả sử mathrm{a}=0 Leftrightarrow mathrm{m}=mathrm{m}_{0} ta có:

(*) trở thành phương trình bậc nhất ax +mathrm{c}=0(* *)

+ Nếu mathrm{b} neq 0 với mathrm{m}=mathrm{m}_{0}:(* *) có một nghiệm mathrm{x}=-mathrm{c} / mathrm{b}

+ Nếu mathrm{b}=0 và c =0 với mathrm{m}=mathrm{m}_{0}:left({ }^{* *}right) vô định Leftrightarrowleft({ }^{*}right) vô định

+ Nếu mathrm{b}=0mathrm{c} neq 0vói mathrm{m}=mathrm{m}_{0}:(* *) vô nghiệm Leftrightarrowleft({ }^{*}right) vô nghiệm

b. Trường hợp mathrm{a} neq 0 : Tính Delta hoặc Delta^{prime} +operatorname{Tinh} Delta=mathrm{b}^{2}-4 mathrm{ac}

Nếu Delta>0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x_{1}=frac{-b+sqrt{Delta}}{2 a} ; x_{2}=frac{-b-sqrt{Delta}}{2 a}

Nếu Delta=0: Phương trình có nghiệm kép :x_{1}=x_{2}=frac{-b}{2 a} Nếu Delta<0 : Phương trình vô nghiệm + Tính Delta^{prime}=mathrm{b}^{prime 2}-mathrm{ac} với mathrm{b}=2 mathrm{~b}^{prime}

Nếu Delta^{prime}>0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x_{1}=frac{-b^{prime}+sqrt{Delta}}{a} ; x_{2}=frac{-b^{prime}-sqrt{Delta}}{a}

Nếu Delta^{prime}=0: Phương trình có nghiệm kép: x_{1}=x_{2}=frac{-b}{a} Nếu Delta^{prime}<0: Phương trình vô nghiệm Ghi tóm tắt phần biện luận trên.

Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai mathbf{a x}^{2}+mathbf{b} mathbf{x}+mathbf{c}=mathbf{0} (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm. Có hai khả năng để phương trình bậc hai a x^{2}+b x+c=0 có nghiệm:

1. Hoặc mathrm{a}=0, mathrm{~b} neq 0

2. Hoặc mathrm{a} neq 0, Delta geq 0 hoặc Delta^{prime} geq 0

Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc điều kiện 2 .

Điều kiện có hai nghiệm phân biệt left{begin{array}{l}a neq 0 \ Delta>0end{array}right. hoặc left{begin{array}{l}a neq 0 \ Delta>0end{array}right.

Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai a x^{2}+b x+c=0 (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm. Q Điều kiện có một nghiệm:

left{begin{array} { l } { a = 0 } \ { b neq 0 } end{array} text { hoặc } left{begin{array} { l } { a neq 0 } \ { Delta = 0 } end{array} text { hoặc } left{begin{array}{l} a neq 0 \ Delta=0 end{array}right.right.right.

Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số mathbf{a x}^{2}+mathbf{b} mathbf{x}+mathbf{c}=mathbf{0} (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm kép.

Điều kiện có nghiệm kép: left{begin{array}{l}a neq 0 \ Delta=0end{array}right. hoặc left{begin{array}{l}a neq 0 \ Delta=0end{array}right.

Bài toán 7: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai mathbf{a x}^{2}+mathbf{b x}+mathbf{c}=mathbf{0} (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm. –

– Điều kiện có một nghiệm:left{begin{array}{l}a neq 0 \ Delta<0end{array}right. hoặc left{begin{array}{l}a neq 0 \ Delta<0end{array}right.

Bài toán 8: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai mathrm{ax}^{2}+mathbf{b} mathbf{x}+mathrm{c}=mathbf{0} (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.

– Điều kiện có một nghiệm: left{begin{array}{l}a=0 \ b neq 0end{array}right. hoặc left{begin{array}{l}a neq 0 \ Delta=0end{array}right. hoặc left{begin{array}{l}a neq 0 \ Delta=0end{array}right.

– Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu:left{begin{array}{l}Delta geq 0 \ P=frac{c}{a}>0end{array}right. hoặc left{begin{array}{l}Delta^{prime} geq 0 \ P=frac{c}{a}>0end{array}right.

Bài toán 10: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai mathrm{ax}^{2}+mathrm{b} mathrm{x}+mathrm{c}=mathbf{0} (a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm dương.

Điều kiện có hai nghiệm dương: quadleft{begin{array}{l}Delta geq 0 \ P=frac{c}{a}>0 \ S=-frac{b}{a}>0end{array}right. hoặc left{begin{array}{l}Delta geq 0 \ P=frac{c}{a}>0 \ S=-frac{b}{a}>0end{array}right.

…………….

Ngoài ra các bạn học sinh tham khảo thêm rất nhiều tài liệu học tập khác như

  • Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
  • Giải bài toán bằng cách lập phương trình
  • Tâm đường tròn nội tiếp tam giác
  • Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
  • Chuyên đề Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai Lớp 9

Tải file tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết

Tổng hợp kiến thức Toán 9 bao gồm toàn bộ kiến thức trọng tâm trong chương trình môn học lớp 9 cả năm.

Tổng hợp kiến thức Toán 9 là tài liệu vô cùng hữu ích, giúp các bạn học sinh lớp 9 có thêm nhiều tư liệu tham khảo, củng cố kiến thức hình học và đại số. Qua đó nắm được kiến thức để nhanh chóng biết cách giải các bài tập để đạt được kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi vào lớp 10 sắp tới. Vậy sau đây là nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo và tải tại đây.

Tổng hợp kiến thức và dạng bài tập toán 9

1. Điều kiện để căn thức có nghĩa

sqrt{A} có nghĩa khi A geq 0

2. Các công thức biến đổi căn thức.

a. quad sqrt{A^{2}}=|A|

b. quad sqrt{A B}=sqrt{A} cdot sqrt{B} quad(A geq 0 ; B geq 0)

c. quad sqrt{frac{A}{B}}=frac{sqrt{A}}{sqrt{B}} quad(A geq 0 ; B>0)

d. quad sqrt{A^{2} B}=|A| sqrt{B} quad(B geq 0)

begin{array}{lll}text { e. } & A sqrt{B}=sqrt{A^{2} B} & (A geq 0 ; B geq 0)end{array}

ê. quad A sqrt{B}=-sqrt{A^{2} B} quad(A<0 ; B geq 0)

f. quad sqrt{frac{A}{B}}=frac{1}{|B|} sqrt{A B} quad(A B geq 0 ; B neq 0)

g. quad frac{A}{sqrt{B}}=frac{A sqrt{B}}{B} quad(B>0)

h. frac{C}{sqrt{A} pm B}=frac{C(sqrt{A} mp B)}{A-B^{2}} quadleft(A geq 0 ; A neq B^{2}right)

i. frac{C}{sqrt{A} pm sqrt{B}}=frac{C(sqrt{A} mp sqrt{B})}{A-B^{2}} quad(A geq 0 ; B geq 0 ; A neq B)

3. Hàm số  y=a x+b(a neq 0)

+ Hàm số đồng biến trên R khi a > 0.

+ Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0.

– Đồ thị:

Đồ thị là một đường thẳng đi qua điểm A(0;b); B(-b/a;0).

4. Hàm số y=operatorname{ax}^{2}(a neq 0)

– Tính chất

+ Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.

+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.

– Đồ thị:

Đồ thị là một đường cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0).

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành.

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

y=a x+b(d)y=a^{prime} x+b^{prime}left(d^{prime}right)

(d) và (d’) cắt nhau ⇔ a ≠ a’

(d) // (d’) ⇔ a = a’ và b ≠ b’

(d) ≡ (d’) ⇔ a = a’ và b = b’

6. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường cong.

Xét đường thẳng y=a x+b(d)y=a x^{2}(P)

(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm

(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm

(d) và (P) không có điểm chung

7. Phương trình bậc hai.

Xét phương trình bậc hai a x^{2}+b x+c=0(a neq 0)

Công thức nghiệm

Delta=b^{2}-4 a c

– NếuDelta>0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x_{1}=frac{-b+sqrt{Delta}}{2 a} ; x_{2}=frac{-b-sqrt{Delta}}{2 a}

– Nếu Delta=0: Phương trình có nghiệm kép :

x_{1}=x_{2}=frac{-b}{2 a}

– Nếu Delta<0: phương trình vô nghiệm

Công thức nghiệm thu gọn

Delta^{prime}=b^{prime 2}-a c text { vói } b=2 b^{prime}

– Nếu Delta^{prime}>0: Phương trình có 2 nghiệm

x_{1}=frac{-b^{prime}+sqrt{Delta}}{a} ; x_{2}=frac{-b^{prime}-sqrt{Delta}}{a}

– Nếu Delta^{prime}=0 phương trình có nghiệm kép

x_{1}=x_{2}=frac{-b^{prime}}{a}

– Nếu Delta^{prime}<0: Phương trình vô nghiệm

8. Hệ thức Viet và ứng dụng.

– Hệ thức Viet:

Nếu mathrm{x}_{1}, mathrm{x}_{2} là nghiệm của phương trình bậc hai mathrm{ax}^{2}+mathrm{bx}+mathrm{c}=0(mathrm{a} neq 0) thì

left{begin{array}{l} S=x_{1}+x_{2}=frac{-b}{a} \ P=x_{1} x_{2}=frac{c}{a} end{array}right.

– Một số ứng dụng:

+ Tìm hai số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải phương trình: x^{2}-S x+P=0

(Điều kiện S2– 4P ≥ 0)

+ Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai a^{2}+b x+c=0$ (aneq0)

Nếu a +b+c=0 thì phương trình có hai nghiệm mathrm{x}_{1}=1 ; mathrm{x}_{2}=frac{c}{a}

Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm:  mathrm{x}_{1}=-1 ; mathrm{x}_{2}=-frac{c}{a}

9. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình

Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình

Bước 3: Kiểm tra các nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Bài toán: Rút gọn biểu thức A

Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các bước sau:

– Quy đồng mẫu thức (nếu có)

– Đưa bớt thừa số ra ngoài căn thức (nếu có)

– Trục căn thức ở mẫu (nếu có)

– Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia….

Cộng trừ các số hạng đồng dạng.

Dạng 2: Bài toán tính toán

Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A.

– Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rút gọn biểu thức A

Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức A(x) biết x = a

Cách giải:

– Rút gọn biểu thức A(x).

Thay x = a vào biểu thức rút gọn.

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức

Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B

Một số phương pháp chứng minh:

– Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa.

A = B ⇔ A – B = 0

– Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp.

A = A1 = A2 = … = B

– Phương pháp 3: Phương pháp so sánh.

– Phương pháp 4: Phương pháp tương đương.

A = B ⇔ A’ = B’ ⇔ A” = B” ⇔ …… ⇔ (*) (*) đúng do đó A = B

– Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng giả thiết.

– Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp.

Phương pháp 7: Phương pháp dùng biểu thức phụ.

Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức

Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B

Một số bất đẳng thức quan trọng:

Bất đẳng thức Cosi:

frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+ldots+a_{n}}{n} geq sqrt[n]{a_{1} cdot a_{2} cdot a_{3} ldots a_{n}} text { (vói } left.a_{1} cdot a_{2} cdot a_{3} ldots a_{n} geq 0right)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

a_{1}=a_{2}=a_{3}=ldots=a_{n}

Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: a _{1} ; mathrm{a}_{2} ; mathrm{a}_{3} ; ldots ; mathrm{an} ; mathrm{b}_{1} ; mathrm{b}_{2} ; mathrm{b}_{3} ; ldots bn

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

frac{a_{1}}{b_{1}}=frac{a_{2}}{b_{2}}=frac{a_{3}}{b_{3}}=ldots=frac{a_{n}}{b_{n}}

Dạng 5: Bài toán liên quan đến phương trình bậc 2

Bài toán 1: giải các phương trình bậc 2: ax+ bx + 2

– Các phương pháp giải:

– Phương pháp 1 : Phân tích đưa về phương trình tích.

– Phương pháp 2: Dùng kiến thức về căn bậc hai

mathrm{x}^{2}=mathrm{a} rightarrow mathrm{x}=pm sqrt{a}

– Phương pháp 3: Dùng công thức nghiệm Ta có Delta=b^{2}-4 a c

+ Nếu Delta>0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x_{1}=frac{-b+sqrt{Delta}}{2 a} ; x_{2}=frac{-b-sqrt{Delta}}{2 a}

+ Nếu Delta=0 : Phương trình có nghiệm kép

x_{1}=x_{2}=frac{-b}{2 a}

+ Nếu Delta<0 : Phương trình vô nghiệm

– Phương pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn Ta có Delta^{prime}=mathbf{b}^{prime 2}- ac với mathbf{b}=2 mathbf{b}^{prime}

+ Nếu Delta^{prime}>0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x_{1}=frac{-b^{prime}+sqrt{Delta^{prime}}}{a} ; x_{2}=frac{-b^{prime}-sqrt{Delta}}{a}

+ Nếu Delta^{prime}=0: Phương trình có nghiệm kép

x_{1}=x_{2}=frac{-b^{prime}}{a}

+ Nếu Delta^{prime}<0 : Phương trình vô nghiệm

– Phương pháp 5: Nhầm nghiệm nhờ định lí Vi-et. Nếu mathrm{x}_{1}, mathrm{x}_{2} là nghiệm của phương trình bậc hai mathrm{ax}^{2}+mathrm{bx}+mathrm{c}=0(mathrm{a} neq 0) thì:

left{begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=frac{-b}{a} \ x_{1} cdot x_{2}=frac{c}{a} end{array}right.

Chú ý: Nếu a, c trái dấu túc là a.c <0 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Bài toán 2:

– Xét hệ số a: Có thể có 2 khả năng

a. Trường hợp mathrm{a}=0 với vài giá trị nào đó của m. Giả sử mathrm{a}=0 Leftrightarrow mathrm{m}=mathrm{m}_{0} ta có:

(*) trở thành phương trình bậc nhất ax +mathrm{c}=0(* *)

+ Nếu mathrm{b} neq 0 với mathrm{m}=mathrm{m}_{0}:(* *) có một nghiệm mathrm{x}=-mathrm{c} / mathrm{b}

+ Nếu mathrm{b}=0 và c =0 với mathrm{m}=mathrm{m}_{0}:left({ }^{* *}right) vô định Leftrightarrowleft({ }^{*}right) vô định

+ Nếu mathrm{b}=0mathrm{c} neq 0vói mathrm{m}=mathrm{m}_{0}:(* *) vô nghiệm Leftrightarrowleft({ }^{*}right) vô nghiệm

b. Trường hợp mathrm{a} neq 0 : Tính Delta hoặc Delta^{prime} +operatorname{Tinh} Delta=mathrm{b}^{2}-4 mathrm{ac}

Nếu Delta>0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x_{1}=frac{-b+sqrt{Delta}}{2 a} ; x_{2}=frac{-b-sqrt{Delta}}{2 a}

Nếu Delta=0: Phương trình có nghiệm kép :x_{1}=x_{2}=frac{-b}{2 a} Nếu Delta<0 : Phương trình vô nghiệm + Tính Delta^{prime}=mathrm{b}^{prime 2}-mathrm{ac} với mathrm{b}=2 mathrm{~b}^{prime}

Nếu Delta^{prime}>0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x_{1}=frac{-b^{prime}+sqrt{Delta}}{a} ; x_{2}=frac{-b^{prime}-sqrt{Delta}}{a}

Nếu Delta^{prime}=0: Phương trình có nghiệm kép: x_{1}=x_{2}=frac{-b}{a} Nếu Delta^{prime}<0: Phương trình vô nghiệm Ghi tóm tắt phần biện luận trên.

Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai mathbf{a x}^{2}+mathbf{b} mathbf{x}+mathbf{c}=mathbf{0} (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm. Có hai khả năng để phương trình bậc hai a x^{2}+b x+c=0 có nghiệm:

1. Hoặc mathrm{a}=0, mathrm{~b} neq 0

2. Hoặc mathrm{a} neq 0, Delta geq 0 hoặc Delta^{prime} geq 0

Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc điều kiện 2 .

Điều kiện có hai nghiệm phân biệt left{begin{array}{l}a neq 0 \ Delta>0end{array}right. hoặc left{begin{array}{l}a neq 0 \ Delta>0end{array}right.

Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai a x^{2}+b x+c=0 (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm. Q Điều kiện có một nghiệm:

left{begin{array} { l } { a = 0 } \ { b neq 0 } end{array} text { hoặc } left{begin{array} { l } { a neq 0 } \ { Delta = 0 } end{array} text { hoặc } left{begin{array}{l} a neq 0 \ Delta=0 end{array}right.right.right.

Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số mathbf{a x}^{2}+mathbf{b} mathbf{x}+mathbf{c}=mathbf{0} (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm kép.

Điều kiện có nghiệm kép: left{begin{array}{l}a neq 0 \ Delta=0end{array}right. hoặc left{begin{array}{l}a neq 0 \ Delta=0end{array}right.

Bài toán 7: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai mathbf{a x}^{2}+mathbf{b x}+mathbf{c}=mathbf{0} (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm. –

– Điều kiện có một nghiệm:left{begin{array}{l}a neq 0 \ Delta<0end{array}right. hoặc left{begin{array}{l}a neq 0 \ Delta<0end{array}right.

Bài toán 8: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai mathrm{ax}^{2}+mathbf{b} mathbf{x}+mathrm{c}=mathbf{0} (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.

– Điều kiện có một nghiệm: left{begin{array}{l}a=0 \ b neq 0end{array}right. hoặc left{begin{array}{l}a neq 0 \ Delta=0end{array}right. hoặc left{begin{array}{l}a neq 0 \ Delta=0end{array}right.

– Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu:left{begin{array}{l}Delta geq 0 \ P=frac{c}{a}>0end{array}right. hoặc left{begin{array}{l}Delta^{prime} geq 0 \ P=frac{c}{a}>0end{array}right.

Bài toán 10: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai mathrm{ax}^{2}+mathrm{b} mathrm{x}+mathrm{c}=mathbf{0} (a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm dương.

Điều kiện có hai nghiệm dương: quadleft{begin{array}{l}Delta geq 0 \ P=frac{c}{a}>0 \ S=-frac{b}{a}>0end{array}right. hoặc left{begin{array}{l}Delta geq 0 \ P=frac{c}{a}>0 \ S=-frac{b}{a}>0end{array}right.

…………….

Ngoài ra các bạn học sinh tham khảo thêm rất nhiều tài liệu học tập khác như

  • Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
  • Giải bài toán bằng cách lập phương trình
  • Tâm đường tròn nội tiếp tam giác
  • Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
  • Chuyên đề Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai Lớp 9

Tải file tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết

Back to top button