Giáo Dục

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức lớp 8

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức là một trong những dạng toán quan trọng trong chương trình Toán 8. 

Trong bài viết dưới đây blogtiendientu.vn giới thiệu đến các bạn cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và các dạng bài tập kèm theo. Thông qua tài liệu này các bạn củng cố được kiến thức, nhanh chóng biết cách giải các bài tập Toán lớp 8 để đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm nhiều tài liệu khác tại chuyên mục Toán 8.

I. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

1. Khái niệm

– Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên.

2. Phương pháp

a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần:

+ Chứng minh A ≥ k với k là hằng số

+ Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến

b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần:

+ Chứng minh A ≤ k với k là hằng số

+ Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến

Kí hiệu: min A là giá trị nhỏ nhất của A; max A là giá trị lớn nhất của A

II. Các dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

I. Dạng 1: Tam thức bậc hai

Phương pháp: Đối với dạng tam thức bậc hai ta đưa biểu thức đã cho về dạng bình phương một tổng (hoặc hiệu) cộng (hoặc trừ) đi một số tự do.

Tổng quát:

  • d – (a ± b)2 ≤ d Ta tìm được giá trị lớn nhất
  • (a ± b)2± c ≥ ± c Ta tìm được giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 1:

a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 – 8x + 1

b, Tìm giá trị lớn nhất của B = -5x2 – 4x + 1

Gợi ý đáp án

a, A = 2(x2 – 4x + 4) – 7 = 2(x – 2)2 – 7 ≥ -7

min A = -7 khi và chỉ khi x = 2

b, B = - 5left( {{x^2} + frac{4}{5}x} right) + 1 = - 5left( {{x^2} - 2.x.frac{2}{5} + frac{4}{{25}}} right) + frac{9}{5} = frac{9}{5} - 5{left( {x + frac{2}{5}} right)^2} le frac{9}{5}

maxB = frac{9}{5} Leftrightarrow x = - frac{2}{5}

Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = ax2 + bx + c

a, Tìm min P nếu a > 0

b, Tìm max P nếu a < 0

Gợi ý đáp án

Ta có P = aleft( {{x^2} + frac{b}{a}x} right) + c = a{left( {x + frac{b}{{2a}}} right)^2} + left( {c - frac{{{b^2}}}{{4a}}} right)

Đặt k = c - frac{{{b^2}}}{{4a}}. Do {left( {x + frac{b}{{2a}}} right)^2} ge 0nên:

a, Nếu a > 0 thì a{left( {x + frac{b}{{2a}}} right)^2} ge 0do đó P ≥ k ⇒ min P = k

b, Nếu a < 0 thì a{left( {x + frac{b}{{2a}}} right)^2} le 0do đó P ≤ k ⇒ max P = k ⇒ x = frac{{ - b}}{{2a}}

Bài tập vận dụng

Bài tập: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

a, A = -x 2 + x + 1 b, B = x 2 + 3x + 4
c, C = x 2 – 11x + 30 d, D = x 2 – 2x + 5
e, E = 3x 2 – 6x + 4 f, F = -3x 2 – 12x – 25

II. Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp: Có hai cách để giải bài toán này:

Cách 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a (với a là số đã biết) để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a hoặc biến đổi về dạng A ≤ b (với b là số đã biết) từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b.

Cách 2: Dựa vào biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. Ta sẽ sử dụng tính chất:

∀x, y ∈ mathbb{Q} ta có:

  • left | x+y right |leqleft | xright | +left | yright |
  • left | x-y right |leqleft | xright | -left | yright |

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a. A = (3x – 1)2 – 4|3x – 1| + 5

b. B = |x – 2| + |x – 3|

Gợi ý đáp án

a, A = {left( {3x - 1} right)^2} - 4left| {3x - 1} right| + 5

Đặt y = left| {3x - 1} right| Rightarrow A = {y^2} - 4y + 5 = {left( {y - 2} right)^2} + 1 ge 1

min A = 1Leftrightarrow y = 2 Leftrightarrow left| {3x - 1} right| = 2 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}3x - 1 = 2\3x - 1 = - 2end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 1\x = dfrac{{ - 1}}{3}end{array} right.

b, B = left| {x - 2} right| + left| {x - 3} right|

B = left| {x - 2} right| + left| {x + 3} right| ge left| {x - 2 + 3 - x} right| = 1

Rightarrow min B = 1 Leftrightarrow left( {x - 2} right)left( {3 - x} right) ge 0 Leftrightarrow 2 le x le 3

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = |x2 – x + 1| + |x2 – x – 2|

Hướng dẫn giải

Ta có:

C = |x2 – x + 1| + |x2 – x – 2| ≥ |x2 – x + 1 + 2 + x – x2| = 3

MinC = 3 ⇔ (x2 – x + 1)(2 + x – x2) ≥ 0 ⇔ (x + 1)(x – 2) ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 2

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của T = |x – 1| + |x – 2| + |x – 3| + |x – 4|

Hướng dẫn giải

Ta có |x – 1| + |x – 4| ≥ |x – 1 + 4 – x| = 3 (1)

Và |x – 2| + |x – 3| ≥ |x – 2 +3 – x| = 1(2)

Vậy T ≥ 1 + 3 = 4

Từ (1) suy ra dấu bằng xảy ra khi 1 ≤ x ≤ 4

Từ (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi 2 ≤ x ≤ 3

Vậy T có giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi 2 ≤ x ≤ 3

Bài tập vận dụng: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

A = |x – 2004| + |x – 2005|

B = |x – 2| + |x – 9| + 1945

C = -|x – 7| – |y + 13| + 1945

III. Dạng 3: Đa thức bậc cao

  • Dạng phân thức
  • Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai
  • Các phân thức có dạng khác

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:

a. A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7)

b. B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + 3

c. C = x2 + xy + y2 – 3x – 3

Gợi ý đáp án

a, A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)(x2 – 7x + 12)

Đặt y = x2 – 7x + 6 thì A = (y – 6)(y + 6) = y2 – 36 ≥ -36

MinA = - 36 Leftrightarrow y = 0 Leftrightarrow {x^2} + 7x + 6 = 0 Leftrightarrow left( {x - 1} right)left( {x - 6} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 1\ x = 6 end{array} right.

b, B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + 3 = (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) + 2

= {left( {x - y} right)^2} + {left( {x - 1} right)^2} + 2 ge 2 Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x - y = 0\ x - 1 = 0 end{array} right. Leftrightarrow x = y = 1

c, C = x2 + xy + y2 – 3x – 3 = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – y

Ta có C + 3 = left( {{x^2} - 2x + 1} right) + left( {{y^2} - 2y + 1} right) + left( {xy - x - y + 1} right)

= {left( {x - 1} right)^2} + {left( {y - 1} right)^2} + left( {x - 1} right)left( {y - 1} right) Đặt a = x - 1;b = y - 1 thì

C + 3 = {a^2} + {b^2} + ab = left( {{a^2} + 2.a.frac{b}{2} + frac{{{b^2}}}{4}} right) + frac{{3{b^2}}}{4} = {left( {a + frac{b}{2}} right)^2} + frac{{3{b^2}}}{4} ge 0

Vậy Min(C + 3) = 0 hay min C = -3⇔ a = b = 0 ⇔ x = y = 1

Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a, A = 2{x^2} + 2xy + {y^2} - 2x + 2y + 2

b, B = {x^4} - 8xy + {x^3}y + {x^2}{y^2} - x{y^3} + {y^4} + 200

c, C = {x^2} + xy + {y^2} - 3x - 3y

d, D = xleft( {x + 1} right)left( {{x^2} + x - 4} right)

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A = - {x^2} - {y^2} + xy + 2x + 2y

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức là một trong những dạng toán quan trọng trong chương trình Toán 8. 

Trong bài viết dưới đây blogtiendientu.vn giới thiệu đến các bạn cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và các dạng bài tập kèm theo. Thông qua tài liệu này các bạn củng cố được kiến thức, nhanh chóng biết cách giải các bài tập Toán lớp 8 để đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm nhiều tài liệu khác tại chuyên mục Toán 8.

I. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

1. Khái niệm

– Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên.

2. Phương pháp

a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần:

+ Chứng minh A ≥ k với k là hằng số

+ Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến

b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần:

+ Chứng minh A ≤ k với k là hằng số

+ Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến

Kí hiệu: min A là giá trị nhỏ nhất của A; max A là giá trị lớn nhất của A

II. Các dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

I. Dạng 1: Tam thức bậc hai

Phương pháp: Đối với dạng tam thức bậc hai ta đưa biểu thức đã cho về dạng bình phương một tổng (hoặc hiệu) cộng (hoặc trừ) đi một số tự do.

Tổng quát:

  • d – (a ± b)2 ≤ d Ta tìm được giá trị lớn nhất
  • (a ± b)2± c ≥ ± c Ta tìm được giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 1:

a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 – 8x + 1

b, Tìm giá trị lớn nhất của B = -5x2 – 4x + 1

Gợi ý đáp án

a, A = 2(x2 – 4x + 4) – 7 = 2(x – 2)2 – 7 ≥ -7

min A = -7 khi và chỉ khi x = 2

b, B = - 5left( {{x^2} + frac{4}{5}x} right) + 1 = - 5left( {{x^2} - 2.x.frac{2}{5} + frac{4}{{25}}} right) + frac{9}{5} = frac{9}{5} - 5{left( {x + frac{2}{5}} right)^2} le frac{9}{5}

maxB = frac{9}{5} Leftrightarrow x = - frac{2}{5}

Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = ax2 + bx + c

a, Tìm min P nếu a > 0

b, Tìm max P nếu a < 0

Gợi ý đáp án

Ta có P = aleft( {{x^2} + frac{b}{a}x} right) + c = a{left( {x + frac{b}{{2a}}} right)^2} + left( {c - frac{{{b^2}}}{{4a}}} right)

Đặt k = c - frac{{{b^2}}}{{4a}}. Do {left( {x + frac{b}{{2a}}} right)^2} ge 0nên:

a, Nếu a > 0 thì a{left( {x + frac{b}{{2a}}} right)^2} ge 0do đó P ≥ k ⇒ min P = k

b, Nếu a < 0 thì a{left( {x + frac{b}{{2a}}} right)^2} le 0do đó P ≤ k ⇒ max P = k ⇒ x = frac{{ - b}}{{2a}}

Bài tập vận dụng

Bài tập: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

a, A = -x 2 + x + 1 b, B = x 2 + 3x + 4
c, C = x 2 – 11x + 30 d, D = x 2 – 2x + 5
e, E = 3x 2 – 6x + 4 f, F = -3x 2 – 12x – 25

II. Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp: Có hai cách để giải bài toán này:

Cách 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a (với a là số đã biết) để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a hoặc biến đổi về dạng A ≤ b (với b là số đã biết) từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b.

Cách 2: Dựa vào biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. Ta sẽ sử dụng tính chất:

∀x, y ∈ mathbb{Q} ta có:

  • left | x+y right |leqleft | xright | +left | yright |
  • left | x-y right |leqleft | xright | -left | yright |

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a. A = (3x – 1)2 – 4|3x – 1| + 5

b. B = |x – 2| + |x – 3|

Gợi ý đáp án

a, A = {left( {3x - 1} right)^2} - 4left| {3x - 1} right| + 5

Đặt y = left| {3x - 1} right| Rightarrow A = {y^2} - 4y + 5 = {left( {y - 2} right)^2} + 1 ge 1

min A = 1Leftrightarrow y = 2 Leftrightarrow left| {3x - 1} right| = 2 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}3x - 1 = 2\3x - 1 = - 2end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 1\x = dfrac{{ - 1}}{3}end{array} right.

b, B = left| {x - 2} right| + left| {x - 3} right|

B = left| {x - 2} right| + left| {x + 3} right| ge left| {x - 2 + 3 - x} right| = 1

Rightarrow min B = 1 Leftrightarrow left( {x - 2} right)left( {3 - x} right) ge 0 Leftrightarrow 2 le x le 3

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = |x2 – x + 1| + |x2 – x – 2|

Hướng dẫn giải

Ta có:

C = |x2 – x + 1| + |x2 – x – 2| ≥ |x2 – x + 1 + 2 + x – x2| = 3

MinC = 3 ⇔ (x2 – x + 1)(2 + x – x2) ≥ 0 ⇔ (x + 1)(x – 2) ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 2

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của T = |x – 1| + |x – 2| + |x – 3| + |x – 4|

Hướng dẫn giải

Ta có |x – 1| + |x – 4| ≥ |x – 1 + 4 – x| = 3 (1)

Và |x – 2| + |x – 3| ≥ |x – 2 +3 – x| = 1(2)

Vậy T ≥ 1 + 3 = 4

Từ (1) suy ra dấu bằng xảy ra khi 1 ≤ x ≤ 4

Từ (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi 2 ≤ x ≤ 3

Vậy T có giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi 2 ≤ x ≤ 3

Bài tập vận dụng: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

A = |x – 2004| + |x – 2005|

B = |x – 2| + |x – 9| + 1945

C = -|x – 7| – |y + 13| + 1945

III. Dạng 3: Đa thức bậc cao

  • Dạng phân thức
  • Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai
  • Các phân thức có dạng khác

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:

a. A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7)

b. B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + 3

c. C = x2 + xy + y2 – 3x – 3

Gợi ý đáp án

a, A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)(x2 – 7x + 12)

Đặt y = x2 – 7x + 6 thì A = (y – 6)(y + 6) = y2 – 36 ≥ -36

MinA = - 36 Leftrightarrow y = 0 Leftrightarrow {x^2} + 7x + 6 = 0 Leftrightarrow left( {x - 1} right)left( {x - 6} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 1\ x = 6 end{array} right.

b, B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + 3 = (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) + 2

= {left( {x - y} right)^2} + {left( {x - 1} right)^2} + 2 ge 2 Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x - y = 0\ x - 1 = 0 end{array} right. Leftrightarrow x = y = 1

c, C = x2 + xy + y2 – 3x – 3 = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – y

Ta có C + 3 = left( {{x^2} - 2x + 1} right) + left( {{y^2} - 2y + 1} right) + left( {xy - x - y + 1} right)

= {left( {x - 1} right)^2} + {left( {y - 1} right)^2} + left( {x - 1} right)left( {y - 1} right) Đặt a = x - 1;b = y - 1 thì

C + 3 = {a^2} + {b^2} + ab = left( {{a^2} + 2.a.frac{b}{2} + frac{{{b^2}}}{4}} right) + frac{{3{b^2}}}{4} = {left( {a + frac{b}{2}} right)^2} + frac{{3{b^2}}}{4} ge 0

Vậy Min(C + 3) = 0 hay min C = -3⇔ a = b = 0 ⇔ x = y = 1

Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a, A = 2{x^2} + 2xy + {y^2} - 2x + 2y + 2

b, B = {x^4} - 8xy + {x^3}y + {x^2}{y^2} - x{y^3} + {y^4} + 200

c, C = {x^2} + xy + {y^2} - 3x - 3y

d, D = xleft( {x + 1} right)left( {{x^2} + x - 4} right)

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A = - {x^2} - {y^2} + xy + 2x + 2y

Back to top button