Giáo Dục

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác: Lý thuyết & các dạng bài tập

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là tài liệu vô cùng hữu ích mà blogtiendientu.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn lớp 9 tham khảo.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tổng hợp toàn bộ kiến thức lý thuyết và các dạng bài tập, phương trình đường tròn, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Qua tài liệu này các em có thêm nhiều tư liệu tham khảo, trau dồi kiến thức để học tốt Toán 9 . Vậy sau đây là nội dung chi tiết mời các bạn cùng theo dõi và tải tài liệu tại đây.

1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Đường tròn ngoại tiếp của tam giác là đường tròn đi qua các đi qua tất cả các đỉnh của tam giác đó. Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.

2. Tâm đường tròn ngoại tiếp là gì?

Giao của 3 đường trung trực trong tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp (hoặc có thể là 2 đường trung trực).

3. Tính chất đường tròn ngoại tiếp

– Mỗi tam giác chỉ có 1 đường tròn ngoại tiếp.

– Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường trung trực của tam giác.

– Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

– Đối với tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác trùng với nhau.

4. Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

– Có 2 cách để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau:

– Cách 1

+ Bước 1: Gọi I(x;y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có IA=IB=IC=R

+ Bước 2: Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ phương trình left{begin{matrix} IA^2=IB^2\ IA^2=IC^2 end{matrix}right.

– Cách 2:

+ Bước 1: Viết phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kỳ trong tam giác.

+ Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường trung trực này, đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

– Như vậy Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân tại A nằm trên đường cao AH

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền

5. Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh.

Để giải được bài toán viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ta thực hiện theo 4 bước sau:

+ Bước 1: Thay tọa độ mỗi đỉnh vào phương trình với ẩn a,b,c (Bởi các đỉnh thuộc đường tròn ngoại tiếp, nên tọa độ các đỉnh thỏa mãn phương trình đường tròn ngoại tiếp cần tìm)

+ Bước 2: Giải hệ phương trình tìm a,b,c

+ Bước 3: Thay giá trị a,b,c tìm được vào phương trình tổng quát ban đầu => phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.

+ Bước 4: Do A,B,C ∈ C nên ta có hệ phương trình:

left{begin{matrix} x_{A}^{2} + y_{A}^{2} – 2ax_{A} – 2by_{A} + c = 0\ x_{B}^{2} + y_{B}^{2} – 2ax_{B} – 2by_{B} + c = 0\ x_{C}^{2} + y_{C}^{2} – 2ax_{C} – 2by_{C} + c = 0 end{matrix}right.

=> Giải hệ phương trình trên ta tìm được a, b, c.

Thay a, b, c vừa tìm được vào phương trình (C) ta có phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.

6. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Cho tam giác ABC

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB. S là diện tích tam giác ABC

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác: Lý thuyết & các dạng bài tậpTa có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

R=frac{a.b.c}{4S}

7. Bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác

Dạng 1: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh

VD: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác A, B, C biết A(-1;2) B(6;1) C(-2;5)

Cách giải:

Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng:

(C) x^2 + y^2 -2ax -2by +c =0

Do A, B, C cùng thuộc đường tròn nên thay tọa độ A, B, C lần lượt vào phương trình đường tròn (C) ta được hệ phương trình:

left{begin{matrix} 2a-4b+c=-5\ 12a+2b-c=37\ 4a-10b+c=-29 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} a=3\ b=5\ c=9 end{matrix}right.

Do đó, Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tâm I (3;5) bán kính R = 5 là:

x^2+y^2-6x-10y+9=0 hoặc (x-3)^2+(y-5)^2=25

Dạng 2: Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh

Ví dụ: Cho tam giác ABC với A(1;2), B(-1;0), C(3;2). Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hướng dẫn cách giải

Gọi I(x;y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

underset{IA}{rightarrow} = (1-x;2-y) Rightarrow IA= sqrt{(1-x)^2+(2-y)^2}

underset{IB}{rightarrow} = (-1-x;-y) Rightarrow IB= sqrt{(1-x)^2+y^2}

underset{IC}{rightarrow} = (3-x;2-y) Rightarrow IC= sqrt{(3-x)^2+(2-y)^2}

Vì I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có:

IA=IB=IC Leftrightarrow left{begin{matrix} IA^2=IB^2\ IA^2=IC^2 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} (1-x)^2 + (2-y)^2 = (-1-x)^2 +y^2\ (1-x)^2 + (2-y)^2 = (3-x)^2 + (2-y)^2 end{matrix}right.

Leftrightarrow left{begin{matrix} x+y=1\ x=2 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x=2\ y=-1 end{matrix}right.

Vậy tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(2;-1)

Dạng 3: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

VD: Tam giác ABC có cạnh AB = 3, AC = 7, BC = 8. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Cách giải:

Ta có: p=frac{AB + AC + BC}{2} = frac{3 + 7 + 8}{2} = 9

Áp dụng công thức Herong:

S=sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} = sqrt{9(9-3)(9-7)(9-8)} = 6sqrt{3}

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

R=frac{AB.AC.BC}{4S} = frac{3.7.8}{4.6sqrt{3}}

VD 4: Cho tam giác MNP vuông tại N, và MN = 6cm, NP = 8cm. Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?

Cách giải:

Áp dụng định lý Pytago ta có:

PQ = 1/2 MP => NQ = QM = QP = 5cm.

Gọi D là trung điểm MP => ∆MNP vuông tại N có NQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền MP.

=> Q là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP.

Suy ra: Đường tròn ngoại tiếp ∆MNP có tâm Q của cạnh huyền MP và bán kính R = MQ = 5cm.

VD 5: Cho tam giác ABC đều với cạnh bằng 6cm. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

Cách giải

Gọi D, E lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB và AD giao với CE tại O

Ta có: Tam giác ABC đều => Đường trung tuyến cũng là đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác.

Suy ra: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

∆ABC có CE là đường trung tuyến => CE cũng là đường cao.

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AEC có:

CE2 = AC2 – AE2 = 62 – 32 = 27 => CE =3√3cm.

Ta có: O là trọng tâm của tam giác ABC => CO = 2/3 CE = (2/3)3√3 = 2√3cm.

Suy ra: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trọng tâm O và bán kính là OC = 2√3cm.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là tài liệu vô cùng hữu ích mà blogtiendientu.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn lớp 9 tham khảo.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tổng hợp toàn bộ kiến thức lý thuyết và các dạng bài tập, phương trình đường tròn, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Qua tài liệu này các em có thêm nhiều tư liệu tham khảo, trau dồi kiến thức để học tốt Toán 9 . Vậy sau đây là nội dung chi tiết mời các bạn cùng theo dõi và tải tài liệu tại đây.

1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Đường tròn ngoại tiếp của tam giác là đường tròn đi qua các đi qua tất cả các đỉnh của tam giác đó. Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.

2. Tâm đường tròn ngoại tiếp là gì?

Giao của 3 đường trung trực trong tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp (hoặc có thể là 2 đường trung trực).

3. Tính chất đường tròn ngoại tiếp

– Mỗi tam giác chỉ có 1 đường tròn ngoại tiếp.

– Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường trung trực của tam giác.

– Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

– Đối với tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác trùng với nhau.

4. Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

– Có 2 cách để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau:

– Cách 1

+ Bước 1: Gọi I(x;y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có IA=IB=IC=R

+ Bước 2: Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ phương trình left{begin{matrix} IA^2=IB^2\ IA^2=IC^2 end{matrix}right.

– Cách 2:

+ Bước 1: Viết phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kỳ trong tam giác.

+ Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường trung trực này, đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

– Như vậy Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân tại A nằm trên đường cao AH

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền

5. Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh.

Để giải được bài toán viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ta thực hiện theo 4 bước sau:

+ Bước 1: Thay tọa độ mỗi đỉnh vào phương trình với ẩn a,b,c (Bởi các đỉnh thuộc đường tròn ngoại tiếp, nên tọa độ các đỉnh thỏa mãn phương trình đường tròn ngoại tiếp cần tìm)

+ Bước 2: Giải hệ phương trình tìm a,b,c

+ Bước 3: Thay giá trị a,b,c tìm được vào phương trình tổng quát ban đầu => phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.

+ Bước 4: Do A,B,C ∈ C nên ta có hệ phương trình:

left{begin{matrix} x_{A}^{2} + y_{A}^{2} – 2ax_{A} – 2by_{A} + c = 0\ x_{B}^{2} + y_{B}^{2} – 2ax_{B} – 2by_{B} + c = 0\ x_{C}^{2} + y_{C}^{2} – 2ax_{C} – 2by_{C} + c = 0 end{matrix}right.

=> Giải hệ phương trình trên ta tìm được a, b, c.

Thay a, b, c vừa tìm được vào phương trình (C) ta có phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.

6. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Cho tam giác ABC

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB. S là diện tích tam giác ABC

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác: Lý thuyết & các dạng bài tậpTa có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

R=frac{a.b.c}{4S}

7. Bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác

Dạng 1: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh

VD: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác A, B, C biết A(-1;2) B(6;1) C(-2;5)

Cách giải:

Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng:

(C) x^2 + y^2 -2ax -2by +c =0

Do A, B, C cùng thuộc đường tròn nên thay tọa độ A, B, C lần lượt vào phương trình đường tròn (C) ta được hệ phương trình:

left{begin{matrix} 2a-4b+c=-5\ 12a+2b-c=37\ 4a-10b+c=-29 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} a=3\ b=5\ c=9 end{matrix}right.

Do đó, Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tâm I (3;5) bán kính R = 5 là:

x^2+y^2-6x-10y+9=0 hoặc (x-3)^2+(y-5)^2=25

Dạng 2: Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh

Ví dụ: Cho tam giác ABC với A(1;2), B(-1;0), C(3;2). Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hướng dẫn cách giải

Gọi I(x;y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

underset{IA}{rightarrow} = (1-x;2-y) Rightarrow IA= sqrt{(1-x)^2+(2-y)^2}

underset{IB}{rightarrow} = (-1-x;-y) Rightarrow IB= sqrt{(1-x)^2+y^2}

underset{IC}{rightarrow} = (3-x;2-y) Rightarrow IC= sqrt{(3-x)^2+(2-y)^2}

Vì I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có:

IA=IB=IC Leftrightarrow left{begin{matrix} IA^2=IB^2\ IA^2=IC^2 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} (1-x)^2 + (2-y)^2 = (-1-x)^2 +y^2\ (1-x)^2 + (2-y)^2 = (3-x)^2 + (2-y)^2 end{matrix}right.

Leftrightarrow left{begin{matrix} x+y=1\ x=2 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x=2\ y=-1 end{matrix}right.

Vậy tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(2;-1)

Dạng 3: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

VD: Tam giác ABC có cạnh AB = 3, AC = 7, BC = 8. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Cách giải:

Ta có: p=frac{AB + AC + BC}{2} = frac{3 + 7 + 8}{2} = 9

Áp dụng công thức Herong:

S=sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} = sqrt{9(9-3)(9-7)(9-8)} = 6sqrt{3}

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

R=frac{AB.AC.BC}{4S} = frac{3.7.8}{4.6sqrt{3}}

VD 4: Cho tam giác MNP vuông tại N, và MN = 6cm, NP = 8cm. Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?

Cách giải:

Áp dụng định lý Pytago ta có:

PQ = 1/2 MP => NQ = QM = QP = 5cm.

Gọi D là trung điểm MP => ∆MNP vuông tại N có NQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền MP.

=> Q là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP.

Suy ra: Đường tròn ngoại tiếp ∆MNP có tâm Q của cạnh huyền MP và bán kính R = MQ = 5cm.

VD 5: Cho tam giác ABC đều với cạnh bằng 6cm. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

Cách giải

Gọi D, E lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB và AD giao với CE tại O

Ta có: Tam giác ABC đều => Đường trung tuyến cũng là đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác.

Suy ra: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

∆ABC có CE là đường trung tuyến => CE cũng là đường cao.

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AEC có:

CE2 = AC2 – AE2 = 62 – 32 = 27 => CE =3√3cm.

Ta có: O là trọng tâm của tam giác ABC => CO = 2/3 CE = (2/3)3√3 = 2√3cm.

Suy ra: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trọng tâm O và bán kính là OC = 2√3cm.

Back to top button