Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

Phương trình nghiệm nguyên thuộc dạng bài tập khó trong chương trình học Toán 8, Toán 9. Lời giải nguyên thường có mặt trong các đề kiểm tra, đề thi học sinh giỏi, ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Phương trình nghiệm nguyên gồm 87 trang, tổng hợp đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập về cách tìm lời giải nguyên. Phương trình nghiệm nguyên hàm được biên soạn rất khoa học, phù hợp với mọi học sinh có học lực từ trung bình khá đến khá. Nhờ đó giúp học sinh củng cố, nắm chắc kiến ​​thức nền tảng, vận dụng làm các bài tập cơ bản. Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu: chuyên đề Giải phương trình bậc hai chứa tham số, bài tập quan hệ Vi-et và ứng dụng.

1. Giải phương trình nghiệm nguyên.

Giải phương trình f (x, y, z, …) = 0 chứa ẩn số x, y, z, … với các nghiệm nguyên để tìm tất cả
tất cả các bộ số nguyên (x, y, z, …) thỏa mãn phương trình này.

2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.

Khi giải phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dư, chẵn lẻ, v.v. cách giải hoặc các phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp phổ biến nhất được sử dụng để giải phương trình số nguyên là:

  • Phương pháp sử dụng thuộc tính chia hết
  • Phương pháp xét số dư của mỗi bên
  • Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
  • Phương pháp sử dụng thuộc tính của hình vuông hoàn hảo
  • Phương pháp đảo ngược vô hạn, nguyên tắc giới hạn

3. Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên.

I. PHƯƠNG PHÁP CHIA

Hình thức 1: Phát hiện tính chất chia hết của một ẩn

vấn đề 1. Giải phương trình số nguyên 3 x + 17 y = 159 (1)

hướng dẫn giải pháp

Gọi x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Ta thấy rằng 159 và 3x đều chia hết cho 3 nên 17 và vdots 3 Rightarrow và vdots 3 (do 17 và 3 nguyên tố cùng nhau).

Mỗi mathrm {y} = 3 mathrm {t} (mathrm {t} trong mathrm {Z}) Thay vào phương trình ta có 3 mathrm {x} +17,3 mathrm {t} = 159 mathrm trái {x} +17 mathrm {t} = 53.

Vì vậy: left {begin {array} {c} mathrm {x} = 53-17 mathrm {t} \ mathrm {y} = 3 mathrm {t} end {array} (mathrm {t} in mathrm {Z}) sang phải.. Thử lại, chúng tôi thấy rằng phương trình đã cho thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (53-17 t, 3 t) với t là số nguyên tùy ý.

vấn đề 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 x + 13 y = 156 (1).

hướng dẫn giải pháp

– Cách 1: Ta có 13y: 13 và 156: 13 nên 2xvdots13 Mũi tên phải xvdots13 (vì (2,3) = 1).

Đặt x = 13k (k trong Z) thay vào (1) ta được: y = -2 k + 12

Do đó, nghiệm ban đầu của phương trình là:left {đầu {array} {l} x = 13 k \ y = -2 k + 12end {array} (k in Z) right ..

– Cách 2: Từ (1) Mũi tên phải x = frac {156-13 y} {2} = 78-frac {13 y} {2},

x in Z Mũi tên phải frac {13 y} {2} in Z What (13,2) = 1 Right arrow y vdots 2 Đặt y = 2 t (t in Z) Mũi tên phải x = 78-13 t

Do đó, nghiệm ban đầu của phương trình là: trái {bắt đầu {mảng} {l} x = 78-13 t \ y = -2 xu hướng {mảng} quad (t in Z) sang phải ..

Lưu ý: Phương trình có dạng ax + by = c trong đó a, b, c là các số nguyên.

* Phương pháp giải:

– Cách 1: Xét tính chất chia hết của các tủ.

– Cách 2: Ẩn phụ, dùng phép chia hết để tìm điều kiện để một phân số trở thành số nguyên.

vấn đề 3. Giải toàn bộ nghiệm 23 x + 53 y = 109.

hướng dẫn giải pháp

Chúng ta có x = frac {109-53 y} {23} = frac {23 (4-2 y) + 17-7 y} {23} = 4-2 y + frac {17-7 y} {23}

Chúng ta phải biến đổi thêm phân số phân số {17-7 mathrm {y}} {23} nên hệ số của biến y là 1.

Phân tích: Chúng tôi cộng và trừ từ tử số một bội số thích hợp của 23

frac {17-7 mathrm {y}} {23} = frac {17-7 mathrm {y} + 46-46} {23} = frac {7 (9-mathrm {y}) - 46} {23} = -2 + frac {7 (9-mathrm {y})} {23}

từ đó x = 2-2 y + frac {7 (9-y)} {23}x trong Z Mũi tên phải frac {9-y} {23} trong Z, do (7,23) = 1.

Mỗi 9-mathrm {y} = 23 mathrm {t} (mathrm {t} trong mathrm {Z}) Mathrm Mũi tên phải {y} = 9-23 mathrm {t}

Do đó, nghiệm ban đầu của phương trình là: left {begin {array} {l} x = 9-23 t \ y = 53 t-16end {array} (t in Z) right ..

Vấn đề 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 11 x + 18 y = 120

hướng dẫn giải pháp

Chúng tôi thấy 11 x vdots 6 mũi tên phải x vdots 6 trừ x = 6 k (k trong Z) thay vì (1) đơn giản hóa, ta được: 11 k + 3 y = 20

Biểu diễn ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (y) đối với k, ta được: y = frac {20-11k} {3}

Tách giá trị nguyên của biểu thức này: mathrm {y} = 7-4 mathrm {k} + frac {mathrm {k} -1} {3}

Đặt lại: frac {mathrm {k} -1} {3} = mathrm {t} (mathrm {t} trong mathrm {Z}) Mũi tên phải mathrm {k} = 3 mathrm {t} +1.

Vì vậy: mathrm {y} = 7-4 (3 mathrm {t} +1) + mathrm {t} = 3-11 mathrm {t}; quad mathrm {x} = 6 mathrm {k} = 6 (3 mathrm {t} +1) = 18 mathrm {t} +6

Thay các biểu thức trên vào phương trình (1), ta được

Vậy nghiệm của phương trình là (x, y) = (18 t + 6; 3-11 t) với trong Z

Lưu ý: a) Nếu bài toán yêu cầu tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (1) thì sau khi tìm được nghiệm tổng quát ta giải được điều kiện:

left {begin {array} {l} 18 mathrm {t} +6> 0 \ 3-11 mathrm {t}> 0 end {array} Leftrightarrow-frac {1} {3}<frac{3 }{11}certo.

Do đó, t = 0, vì t là một số nguyên. Nghiệm nguyên dương của (1) là (x, y) = (6,3).

Trong trường hợp tìm được nghiệm nguyên dương của (1), ta cũng có thể giải như sau: 11 x + 18 y = 120

Làm Mathrm {y} geq 1 nên 11 mathrm {x} leq 120-18.1 = 102.

Vì x là số nguyên nên Mathrm {x} leq 9. Cách khác mathrm {x} vdots 6 ex là số dương nên x = 6 Mũi tên toán học bên phải {y} = 3

Vấn đề 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6 mathrm {x} ^ {2} +5 mathrm {y} ^ {2} = 74

hướng dẫn giải pháp

Chúng ta có:6 mathrm {x} ^ {2} +5 mathrm {y} ^ {2} = 74 Leftrightarrow 6left (mathrm {x} ^ {2} -4right) = 5left (10-mathrm {y} ^ {2} right) (hai)

Từ (2) suy ra 6left (toán {x} ^ {2} -4right): 5cách khác (6,5) = 1 Rightarrowleft (mathrm {x} ^ {2} -4right) vdots 5 Rightarrow mathrm {x} ^ {2} = 5 mathrm {t} +4 (mathrm {t} trong mathrm {N})

Thay thế mathrm {x} ^ {2} -4 = 5 mathrm {t} trong (2) chúng ta có: 30 mathrm {t} = 5left (10-mathrm {y} ^ {2} right) Leftrightarrow mathrm {y} ^ {2} = 10-6 mathrm {t}

Có nguồn gốc từ:t trong {0; Đầu tiên}

Với t = 0 thì không thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Với t = 1 ta có: left {begin {array} {l} x ^ {2} = 9 \ y ^ {2} = 4end {array} Leftrightarrowleft {begin {array} {l} x = pm 3 \ y = pm 2end {array} right. đúng..

Mặt khác, x và y là các số nguyên dương nên x = 3, y = 2.

Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (3,2).

Dạng 2: Phương pháp trở về phương trình số chia

* Cơ sở phương pháp luận:

Chúng ta cố gắng biến phương trình đã cho thành một phương trình trong đó một vế là tích của các biểu thức có giá trị nguyên và vế phải là hằng số nguyên.

Thực tế, biến đổi phương trình thành dạng: mathrm {A} (mathrm {x}; mathrm {y}) cdot mathrm {B} (mathrm {x}; mathrm {y}) = mathrm {c} trong đó mathrm {A} (mathrm {x}; mathrm {y }), mathrm {B} (mathrm {x}; mathrm {y})

Loại 3: Phương pháp chia giá trị số nguyên.

* Cơ sở phương pháp luận: Trong nhiều bài toán có nghiệm nguyên, ta tách phương trình ban đầu thành các phần có giá trị nguyên để dễ dàng đánh giá và tìm lời giải, hầu hết các bài toán sử dụng phương pháp này đều có xu hướng rút ra một ẩn số (với bậc nhất). theo phần dư ẩn.

vấn đề 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: x y-2 y-3 y + 1 = 0

hướng dẫn giải pháp

Chúng ta có x y-2 y-3 y + 1 = 0 Mũi tên phải y (x-3) = 2 x-1.

Ta thấy x = 3 không phải là nghiệm nên x neq 3 Vì vậy: y = phân số {2 x-1} {x-3}

tách phân số phân số {2 x-1} {x-3} giá trị số nguyên:

y = frac {2 x-1} {x-3} = frac {2 (x-3) +5} {x-3} = 2 + frac {5} {x-3}

Vì y là một số nguyên, phân số {5} {x-3} cũng là một số nguyên, do đó (x-3) là một ước của 5.

+) x-3 = 1 thì x = 4, y = 2 + 5 = 7

+) x-3 = -1 thì x = 2, y = 2-5 = -3 (cộng hoặc trừ)

+) x-3 = 5 thì x = 8, y = 2 + 1 = 3

+) x-3 = -5 thì x = -2 (cộng hoặc trừ)

Vậy nghiệm (x, y) là (4,7), (8,3).

Vấn đề 2. Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn phương trình:mathrm {x} ^ {2} + mathrm {xy} -2 mathrm {y} -mathrm {x} -5 = 0

hướng dẫn giải pháp

Nhận xét: Trong phương trình này, ẩn ẩn {y} có bậc nhất nên ta có thể vẽ y theo x

Chúng ta có: x ^ {2} + x y-2 yx-5 = 0 Mũi tên trái phải y (x-2) = - x ^ {2} + x + 5 quad

Với x = 2 thì:

Mũi tên trái sang phải 0 = 3

(không hợp lý)

……………………… Tải xuống tệp doc để xem thêm các Chủ đề Toàn bộ Giải pháp

Thông tin thêm về Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

Phương trình nghiệm nguyên thuộc dạng bài tập khó trong chương trình học môn Toán 8, Toán 9. Các bài toán nghiệm nguyên thường xuyên có mặt tại các bài kiểm tra, bài thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 môn Toán.
Phương trình nghiệm nguyên gồm 87 trang, tóm tắt đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập về cách tìm phương trình nghiệm nguyên. Giải phương trình nghiệm nguyên được biên soạn rất khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực từ trung bình, khá đến giỏi. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản. Ngoài ra các bạn tham khảo thêm tài liệu: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.
1. Giải phương trình nghiệm nguyên.
Giải phương trình f(x, y, z, …) = 0 chứa các ẩn x, y, z, … với nghiệm nguyên là tìm tấtcả các bộ số nguyên (x, y, z, …) thỏa mãn phương trình đó.
2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.
Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên là:
Phương pháp dùng tính chất chia hết
Phương pháp xét số dư từng vế
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Phương pháp dùng tính chất của số chính phương
Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn
3. Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT
Dạng 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn
Bài toán 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 3 x+17 y=159 (1)
Hướng dẫn giải
Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Ta thấy 159 và 3 x đều chia hết cho 3 nên  (do 17 và 3 nguyên tố cùng nhau).
Đặt thay vào phương trình ta được
Do đó: . Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho
Vậy phương trình có nghiệm (x, y)=(53-17 t, 3 t) với t là số nguyên tùy ý.
Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 x+13 y=156 (1).
Hướng dẫn giải
– Phương pháp 1: Ta có 13y:13 và 156:13 nên  ( vì (2,3)=1).
Đặt x=13 k() thay vào (1) ta được: y=-2 k+12
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
– Phương pháp 2: Từ (1)
Để
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
Chú ý: Phương trình có dang ax + by = c với a,b,c là các số nguyên.
* Phương pháp giải:
– Phương pháp 1: Xét tính chia hết của các hang tủ.
– Phương pháp 2: Thủ ẩn, sử dụng tính chia hết tìm đî̀u kiện để một phân số trở thành số nguyên.
Bài toán 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 23 x+53 y=109.
Hướng dẫn giải
Ta có
Ta phải biến đổi tiếp phân số để sao cho hệ số của biến y là 1 .
Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số một bội thích hợp của 23

Từ đó , Để
Đặt
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
Bài toán 4 . Tìm nghiệm nguyên của phương trình 11 x+18 y=120
Hướng dẫn giải
Ta thấy suy ra x=6 k() thay vào (1) rút gọn ta được: 11 k+3 y=20
Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được:
Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này:
Lại đặt:
Do đó:
Thay các biểu thức trên vào phương trình (1) thấy thỏa mãn
Vậy nghiệm của phưng trình là (x, y)=(18 t+6 ; 3-11 t) với
Chú ý: a) Nếu đề bài yêu cầu tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (1) thì sau khi tìm được nghiệm tông quát ta có thể giải điêu kiện:

Do đó t=0 do t là số nguyên. Nghiệm nguyên dương của (1) là (x, y)=(6,3).
Trong trường hợp tìm nghiệm nguyên dương của (1) ta còn có thể giải như sau: 11 x+18 y=120
Do
Do x nguyên nên . Mặt khác và x nguyên dương nên x=6
Bài toán 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
Hướng dẫn giải
Ta có:
Từ (2) suy ra , mặt khác
Thay vào (2) ta có:
Suy ra:
Với t=0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với t=1 ta có: .
Mặt khác x, y nguyên dương nên x=3, y=2.
Vậy phương trình có nghiệm (x, y)=(3,2).
Dạng 2: Phương pháp đưa về phương trình ước số
* Cơ sở phương pháp:
Ta tìm cách đưa phương trình đã cho thành phương trình có một vế là tích các biểu thức có giá trị nguyên, vế phải là hằng số nguyên.
Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:
Dạng 3: Phương pháp tách ra các giá trị nguyên.
* Cơ sở phương pháp: Trong nhiều bài toán phương trình nghiệm nguyên ta tách phương trình ban đầu thành các phần có giá trị nguyên để dễ dàng đánh giá tìm ra nghiệm, đa số các bài toán sử dụng phương pháp này thường rút một ẩn (có bậc nhất) theo ẩn còn lại.
Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Ta có
Ta thấy x=3 không là nghiệm nên do đó:
Tách ra ở phân thức  các giá trị nguyên:

Do y là số nguyên nên  cũng là số nguyên, do đó (x-3) là ước của 5 .
+) x-3=1 thì x=4, y=2+5=7
+) x-3=-1 thì x=2, y=2-5=-3 (loại)
+) x-3=5 thì x=8, y=2+1=3
+) x-3=-5 thì x=-2 (loại)
Vậy nghiệm (x, y) là (4,7),(8,3).
Bài toán 2 . Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn phương trình:
Hướng dẫn giải
Nhận xét: trong phương trình này ẩn mathrm{y} có bậc nhất nên rút y theo x
Ta có:
Với x=2 thì: (*)  (vô lý)
……………………
Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

#Chuyên #đề #phương #trình #nghiệm #nguyên


#Chuyên #đề #phương #trình #nghiệm #nguyên

Blog Tiền Điện Tử

Back to top button